Р. п.: Королёвой; Д. п.: Королёвой; В. п.: Королёву; Тв. п.: Королёвой; 6. Пр. п.: о Королёвой.
Выражение свойственно обиходной разговорной речи; ср. также обороты операция на глаза / ноги / колени / вены и т. д.
Значение этого сочетания неясно. Корректно раздельное написание, если слово условно употреблено в качестве наречия. Ср.: относительно критичный.
Такое сочетание возможно. Слово песок может употребляться в форме мн. числа.
Первая часть сложных слов медиа... пишется слитно с последующей частью слова.
Правильно: пол чайной ложки. Пол... пишется раздельно, если относится к сочетанию слов (ср.: пол-Москвы, но: пол Московской области).
Выбор предлога зависит от контекста и значения слова служба. Ср.: продвигаться по службе – работать в службе технической поддержки.
Написание зависит от контекста. Ср.: Мне не было тяжело и Как бы ни было тяжело, надо идти вперед.
Если в имени Рабия последняя гласная - ударная, то верно: РабиЕ. Ср.: Зульфия - Зульфие, Алия - Алие.
К сожалению, назвать "лучший" трудно. Есть разные критерии: объем словника, актуальность и полнота рекомендаций, авторитетность издания и др.
