Правильно: ко дню в значении приуроченности к какому-либо событию. Если имеется в виду, что что-то приурочено к празднику, верно: ко Дню защитника Отечества.

Если такого значения нет, а обозначается календарная дата, то верно: к дню; успеть к Дню защитника Отечества.

Предлог от не нужен, запятые не требуются. Обратите внимание, что, поскольку это не официальный документ (а это, видимо, деловое письмо), то дату лучше оформить иначе: В продолжение нашего разговора по телефону 27 сентября по Вашей просьбе направляю Вам свое резюме. 

Верно: Эйфелева башня. Прилагательное образовано от фамилии Эйфель с помощью суффикса -ев. В русском языке притяжательные прилагательные, образованные таким образом, в форме женского рода единственного числа имеют окончание -а, например: Далев словарь – Далева внучка (от фамилии Даль), государев указ – государева служба.

Дело во временной протяжённости даты 10 июня и в полном отсутствии ее у числа 10.  При наличии протяжённости и возникает необходимость уточнить, идет речь о начале дня 10 июня или о его конце, а в отсутствие уточнения возникает двоякое чтение.

Можно радоваться за кого-то, а не за что-то.

Управление в русском языке

Знаки препинания расставлены верно.

Обратите внимание, что верно: Оплату оказанных услуг гарантируем (без предлога за). Также, если 14 мая — это дата, когда выпал град (а не день, которым должна быть датирована справка), верно: ...о выпадении града 14.05.2016 г. (без предлога за).

Вы правы, слова больше не здесь действительно лишние. Глагол заречься означает 'дать зарок, обещание не делать чего-либо впредь' и употребляется непосредственно с инфинитивом (неопределенной формой глагола): зарекся курить, зарекся разговаривать на эту тему. Следовало сказать: я зарекся иметь дело с такими людьми.

Слова ещё и уже вполне корректно использовать в подобных предложениях. Выбор слова зависит от целей автора: использование уже указывает на то, что нечто к моменту, о котором идёт речь, является свершившимся фактом; использование ещё подчеркивает, что указанная дата оценивается автором как весьма ранняя.

ГОРНИЦА, -ы; ж.
1. Устар.
Комната (первоначально в верхнем этаже).
2.
Чистая половина крестьянской избы. Дом состоял из двух половин - кухни с русской печью и просторной горницы. < Горенка, -и; -нок; ж. Уменьш.

СВЕТЛИЦА, -ы; ж. Устар.
=Светёлка. Светлая с. Принимать гостей в светлице. < Светличка, -и; мн. род. -чек, дат. -чкам; ж. Разг. Уменьш.-ласк. Светличный, -ая, -ое.

СВЕТЁЛКА, -и; мн. род. -лок, дат. -лкам; ж. Устар.
1.
Небольшая светлая комната в верхней части дома. Жить в светёлке. Маленькая с.
2.
Светлая, чистая комната в доме. < Светёлочка, -и; ж. Уменьш.-ласк.

Здесь возможны варианты: в день открытых дверей и на дне открытых дверей. Второй вариант предпочтителен, поскольку здесь слово день употреблено, скорее, в значении "мероприятие", чем в значении "дата". Ср. слово вечер в том же значении: ждем вас на вечере поэзии, а не в вечер поэзии.