Нормативно склонение обеих частей названия: Каменска-Шахтинского, в Каменске-Шахтинском. Впрочем, в непринужденной разговорной речи допустимо не склонять первую часть: Каменск-Шахтинского, в Каменск-Шахтинском.

Предпочтительно: белокалитвинский, хотя словари допускают и возможность написания через Е.

Обычно сначала употребляется этикетная формула, затем следует обращение. Поэтому предпочтителен второй вариант, хотя не является ошибочным и первый. Запятая обязательна в любом случае: независимо от того, где находится обращение, оно отделяется запятой.

В этом предложении слово можно выполняет функцию вопросительной частицы, подчеркивающей просьбу позволить сделать что-либо. Без этой частицы предложение имеет то же значение (хотя и читается с другой интонацией), сравним: Мы здесь поживем?

Нет, слова "лектор", "доктор" и "дипломат" являются существительными мужского рода. Однако они могут использоваться для обозначения лиц любого пола, хотя грамматический род при этом остается неизменным.

При соблюдении рекомендуемой последовательности постановки знаков никаких ограничений по их числу нет. Так, в принципе возможны и кавычки третьего уровня вложенности, хотя очевидно, что нагромождение знаков не вызовет положительных эмоций у читателей текста.

Как правило, инициалы предшествуют фамилии. Пробел ставится как между инициалами, так и перед фамилией. Нормам официально-делового стиля русского языка соответствует упоминание инициала отчества в документах, хотя пропуск этого инициала сегодня встречается все чаще.

Судя по данным Национального корпуса русского языка, слово используется, хотя и очень редко: в газетном корпусе встретилось всего три примера, причем в одном из них слово взято в кавычки — видимо, как необычное.

Слово Лефортово — русское, потому что образовано при помощи словообразовательных средств русского языка (хотя и от иностранного корня). Слова, образованные при помощи русских суффиксов, приставок, то есть созданные внутри русского языка, считаются русскими.