Названия мероприятий бывают разные, соответственно и оформляются они по-разному. Если сочетание осенний бал называет именно бал (большой праздничный вечер с танцами), то кавычки не нужны. Написать это сочетание нужно с заглавной буквы, если ему придается статус официального названия мероприятия.
Кавычки нужны.
Корректно: ...свидетельство чему — пятёрки в её дневнике. Но: ...свидетельством чему служат пятёрки в её дневнике.
Корректно: Свидетельство участника мультимедийного урока к Году экологии в Президентской библиотеке выдано ГБОУ «Школа № 522 Адмиралтейского района Санкт-Петербурга».
Правильно: школу окончил сорок один ученик.
Такое сочетание не вполне корректно.
Предпочтительно: окончил.
Правильно: оканчивая школу.
См. в «Письмовнике».
Верно: в отношении школы. Но лучше: при проверке школы.