Корректно: Ребятам очень не повезло, и особенно Алексею.
Написание со строчной корректно.
Правильно здесь НИ.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Перед рядом однородных членов при отсутствии обобщающего слова двоеточие допускается в деловых и научных текстах.
Все верно.
Запятая поставлена правильно.
Правильно: Приказ довести до лиц, указанных в приказе, под подпись. Обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова. Обратите внимание, что в этом значении правильно употреблять слово подпись.
Лучше: Она выразила удовлетворение по поводу намерения.
