В первом и третьем предложениях обособлять слово можно не следует. Во втором предложении обособление факультативно (возможно).

Правильно: чувствовал во всех случаях. Очень странно, что программа диктанта не засчитала правильный вариант. Сейчас проверили: в коде диктанта все верно, в качестве правильного предлагается вариант чувствовал.

Правильно: Интересуюсь творчеством Аниты и Марьяны Цой. При соседстве в подобных случаях мужского и женского имен Д. Э. Розенталь рекомендовал использовать форму единственного числа (впрочем, у него речь идет только о членах одной семьи). Таким образом, рекомендуется: Интересуюсь творчеством Виктора и Аниты Цой. См. об этом короткую справку в «Письмовнике», где дана ссылка на более подробное освещение этого вопроса у Розенталя.

Союзом с быть не может. Согласно «Словарю наречий и служебных слов русского языка» В. В. Бурцевой (М., 2005), с рук – наречие. Оно образовано из предложно-падежной формы (предлог с и существительное рук).

Это происходит потому, что правила склонения фамилий – один из наиболее сложных разделов русской грамматики (главным образом ввиду разветвленности самой системы имен и фамилий). Этим правилам уделяют недостаточно времени в школе на уроках русского языка, хотя вопрос «Склоняется ли моя фамилия и как?» встает практически перед каждым носителем фамилии, не оканчивающейся на -ов(а) или -ин(а). Отсюда столько вопросов на эту тему (в том числе в нашем «Справочном бюро» – ежедневно) и столько ошибок. Не застрахованы от ошибок и работники официальных органов, учреждений образования и др. организаций, выдающих документы гражданам.

Тем не менее, если Вы откроете любой нормативный грамматический справочник, Вы прочитаете правило: склоняются мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный (кроме французских с ударением на последнем слоге типа Дюма, Золя). Фамилия Воевода – не исключение.

Сочетание и ещё в начале предложения часто используется как наречие со значением 'дополнительно, вдобавок' и сигнализирует о переходе к другой мысли: Я не знаю, хорошо это или плохо... Это моя форма существования. И ещё я люблю бывать дома. Токарева (Р. П. Рогожникова. Словарь сочетаний, эквивалентных слову. М., 2003. С. 168) — в этом случае оно не требует постановки знаков препинания. Но это сочетание может представлять собой высказывание, произносимое с интонацией законченности и имеющее значение 'И ещё я скажу вот что'. В этом случае уместно оформить его как самостоятельное предложение либо как часть бессоюзного сложного предложения с двоеточием, выражающим изъяснительные отношения: И ещё. Не надо писать в эту группу; И ещё: не надо писать в эту группу.

В данном случае различаются семантическая мотивация (производное от наименования жителя) и словообразовательная (производное от названия страны). Корректно дефисное написание прилагательного.

Все слова в этом предложении (кроме пора) – глаголы в неопределенной форме, в том числе и слово поесть. 

Но Ваша догадка отчасти верна. Дело в том, что неопределенная форма глагола (инфинитив) по своему происхождению является застывшей формой имени существительного. Очень красиво об этом сказал известный русский лингвист А. М. Пешковский: «Если бы мы ничего не знали о происхождении неопределенной формы, то мы бы определили ее как "глагол, сделавший один шаг по направлению к существительному". Зная же ее происхождение, мы скажем, что это "существительное, не дошедшее на один шаг до глагола"».