Интонационное тире возможно.
Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
Этот вопрос касается правил технического оформления текста. Вот мнение известного дизайнера Артемия Лебедева: «Почти во всех случаях знак препинания должен быть того же начертания, что и слово, к которому он примыкает» («Ководство», § 143).
Запятая не нужна.
Да, эти сочетания обособляются как вводные.
Запятая факультативна.
Верно: Узнай, что внутри.
Буквенное наращение не требуется.
Можно поставить точку или восклицательный знак. Запятая не нужна.
Запятая ставится.
