Написание в рамках одного текста, конечно, должно быть единообразным. Но выбор варианта в данном случае — за автором. В неофициальном тексте у автора есть возможность писать в соответствии с орфографическими нормами: Государственная дума, Комитет Государственной думы по... При этом и в неофициальном тексте использование официальной формы написания (Государственная Дума, Комитет Государственной Думы по...) не запрещается, оно допустимо, если отвечает намерениям автора и характеру написанного.

Запятая перед что необходима в обоих случаях: она разделяет главную и придаточную части сложноподчиненного предложения. В первом случае слово что является союзом, во втором — союзным словом. Поскольку на союзное слово, в отличие от союза, падает логическое ударение, это уместно обозначить в тексте шрифтовым выделением или надстрочным знаком, например: Я знаю, что́ говорю.

Лучше писать без двоеточия и с маленькой буквы: Захочешь поучить их ремеслу — я буду кивать. Типа «да, мотайте на ус».

Вы ведете речь о смысловых, а точнее — логико-понятийных основаниях употребления сложных слов. Если такие основания считать «правилами», то можно их называть логико-понятийными.

Корректно только: сообщение о том, что...

Правильно: ...завершится у ее ворот. Если написать у его ворот, это будет означать «у ворот чуда».

Кавычки нужны. Перед второй частью лучше поставить тире: Мистер Эн охотно отвечал на вопросы своих "друзей" — так он называл работников бюро.

Другой возможный вариант — заключить вторую часть предложения в скобки как вставную конструкцию: Мистер Эн охотно отвечал на вопросы своих "друзей" (так он называл работников бюро).

Слово Минимущества, данное в словаре, является несклоняемым, как и другие сокращения со второй частью, совпадающей с формой родительного падежа, например: Минобороны, Минобразования. Слово Минимущество склоняется, так как вторая часть совпадает с формой именительного падажа, ср.: жилстроительство, Росимущество. По нашим наблюдениям, в письменных текстах употребляются оба слова.

В прилагательном туманный вторая буква н представляет собой суффикс (часть -ый является окончанием). Прилагательное фазаний образовано с помощью суффикса -ий (в именительном падеже у него нулевое окончание, в других падежах суффикс представлен вариантом j, сравним: фазан-j-его, фазан-j-ему и т. д.), второй букве н в нем неоткуда взяться.