Предлог от не нужен, запятые не требуются. Обратите внимание, что, поскольку это не официальный документ (а это, видимо, деловое письмо), то дату лучше оформить иначе: В продолжение нашего разговора по телефону 27 сентября по Вашей просьбе направляю Вам свое резюме. 

Выбор предлога зависит от смысла: на Сицилию (на остров) и в Сицилию (если нужно подчеркнуть, что речь идет об административной единице – регионе Италии, ср.: в Пьемонт, в Тоскану). В приведенном Вами примере, видимо, стоит выбрать предлог на (бежал на остров).

Действительно, правильное и логичное слитное написание прилагательного "режет глаз". Дело в том, что само по себе выражение "оздоровлять экологию" не вполне удачно, если учитывать, что основное значение существительного экология - это "наука об окружающей среде". Думаем, следует подобрать более адекватный синоним.

Оба варианта грамматически некорректны. Дело в том, что числительное четыре не сочетается с существительными, имеющими только форму множественного числа (сани, ворота, брюки и т. п.). С другой стороны, собирательное числительное шестьдесят четверо неупотребительно само по себе. Поэтому требуется кардинально перестроить предложение.

Вариант пылесошу грамматически верен: такая форма существует в языке и именно так пишется и произносится. Другое дело, что из-за своей неблагозвучности она, как правило, избегается носителями языка, во многих словарях можно встретить соответствующие указания («нет», «затрудн.», «избегается» и т. п.).

Правильно: легкоатлеты. Ударение на А не соответствует литературной норме; по-видимому, для спортсменов такое «профессиональное» ударение – своего рода признак принадлежности к определенной, «своей» среде, то же, что наркомания (вместо наркомания) для медиков и дело возбуждено (вместо возбуждено) для сотрудников правоохранительных органов.

Дело в том, что различие между наречным сочетанием и вводным выражением в свою очередь не всегда очевидно; на практике окончательное решение о выделении / невыделении этих слов запятыми принимает автор текста. В ответе по поводу обособления этого сочетания указаны лишь общие закономерности.

Словарь "Русское словесное ударение" изначально созавался для работников радио, поэтому в нем не приводятся все варианты ударения, отвечающие литературной норме (даются только предпочтительные или произвольно выбирается один из равноправных вариантов, обычно наиболее частотный). Чем руководствоваться - это дело Вашего языкового вкуса.