1. Ваше суждение в целом верное и логичное. Названия шрифтов при написании кириллицей корректно писать с прописной буквы в кавычках как имена собственные. Здесь возможна некоторая аналогия с написанием названий автомобилей: названия марок автомобилей заключаем в кавычки и пишем с прописной буквы, но в бытовом употреблении пишем строчными без кавычек. Ср.: Да у него весь текст таймсом набран, да он таймса от ариала не отличит (= и водит старенький москвич). Категории шрифтов корректно писать строчными без кавычек.

2. Не очень понятно, что Вы понимаете под словом «ремесло» применительно к типографике, но специалисты и правда различают типографский как относящийся к печатной подготовке книги и типографический как относящийся к допечатной подготовке. Кажется, уже можно говорить о том, что на наших глазах родилось новое значение слова, не отраженное пока в толковых словарях русского языка.

При написании названий сайтов действуют общие правила: названия пишутся с прописной буквы и заключаются в кавычки:  порталы «Яндекс», «Рамблер», «Культура письменной речи»; социальные сети «Фейсбук», «ВКонтакте» (официальное название этого ресурса именно такое, хотя оно противоречит нормам русского письма; должно быть: «В контакте», ср.: журнал «За рулем», не «ЗаРулем»).

Компонент после точки (если он присутствует в названии) пишется строчными: «Грамота.ру» (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).

Полагаем, что в бытовом употреблении (при передаче на письме разговорной речи) допустимо написание строчными без кавычек: пост в фейсбуке, проверить слово на грамоте, рекламная ссылка из гугла, фото в инстаграме (здесь возможна аналогия с пунктами правил, описывающими бытовое употребление названий торговых марок, изделий и товаров).

Веб-адреса сайтов (написанные как латиницей, так и кириллицей) пишутся строчными: www.gramota.ru; президент.рф.

См. также: http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=internet

Корректно написание со строчной буквы.

Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова правильно с предлогом В.

Правильно: у Марка Твена.

В предложении Летом мы ремонтировали крышу дома слово дома является дополнением. Кто-то, видимо, ошибочно решил, что существительное не может управлять дополнением, а зависимое сущ. при нем всегда является несогласованным определением. На самом деле существительные вполне могут управлять дополнениями; в частности, в данном случае главное слово — крыша — обозначает часть целого, и при таких сущ. регулярно использование в качестве дополнения слова, обозначающего то целое, часть которого названа. Вот, скажем, в словосочетании ограда Летнего сада зависимый компонент действительно является несогласованным определением.