Правильно: Как бы вас ни пытали или ни ела совесть, вы не имеете к этому делу никакого отношения.

Действительно, за последние годы литературная норма несколько смягчилась. Хотя и во времена СССР у многих слов были равноправные варианты постановки ударения, общая тенденция замечена Вами верно. В последние десятилетия произошла своего рода «демократизация» нормы: многое из того, что раньше запрещалось словарями, теперь стало допустимым, а иногда и предпочтительным. Причин тому несколько.
Во-первых, орфоэпические словари прежде были ориентированы не только на широкий круг носителей языка, но и (и даже в первую очередь) на дикторов радио и телевидения, в речи которых не должно было быть никакого разнобоя. Поэтому варианты в большинстве случаев не указывались; двоякое ударение в словах приводилось только тогда, когда при всем желании невозможно было отдать предпочтение одному из вариантов. Сейчас же многие словари стремятся отразить динамику литературной нормы, поэтому иногда в них приводятся как допустимые и такие варианты, которые еще не являются эстетически приемлемыми для всех носителей языка (например, дОговор, нет носок), но, несомненно, станут таковыми в будущем.
Во-вторых, изменилось отношение лексикографов к вариантности нормы. Вот, например, цитата из предисловия к орфоэпическому словарю русского языка 1959 года издания: «Наличие колебаний (вариантов) часто нарушает правильность речи и тем самым понижает доходчивость ее. Это особенно нетерпимо для различных форм устной публичной речи». Сейчас такая нетерпимость прошла; по мнению многих лингвистов, лексикографическая деятельность не должна сводиться «ни к искусственному консервированию пережитков языка, ни к бескомпромиссному запрещению языковых новообразований» (К. С. Горбачевич).
Наконец, перемены в языке наступили вслед за переменами в общественно-политической жизни. Сейчас пришло понимание того, что следование норме включает в себя и умение выбирать соответственно ситуации речевого общения. Другими словами, наряду с однозначными правилами норма предполагает и возможность выбора. Это различие очень удачно сформулировал Б. С. Шварцкопф (в статье о кавычках) как различие между правилом и правом. Право на выбор (в том числе и выбор варианта языковой единицы) и признание права другого носителя языка на иной выбор – это важнейшая составляющая речевого общения.

Правильно: Всё, что Вам нужно, чтобы оставаться мобильным, это...

Правило общее: точка, восклицательный, вопросительный знаки заканчивают предложение, а запятая ставится в середине предложения. Поэтому верно:
Уважаемый Иван Иванович!
Предлагаем Вам...
Или:
Уважаемый Иван Иванович,
предлагаем Вам...

Слово существует, хотя в словарях оно не зафиксировано.

Корректно с тире.

К грамматике это не имеет совершенно никакого отношения. Данный вопрос касается истории, этимологии, происхождения слов. Большинство слов русского языка, которые начинаются на букву А, действительно, пришли к нам из других языков. Тем не менее есть и исконно русские слова, начинающиеся на А, они являются преимущественно частицами или междометиями: абы, авось, ась, агу и т. п. Подробно и интересно об этом написано в книге Л. Успенского «Слово о словах».

Лучше поставить двоеточие.

В данном случае вопрос о постановке знаков препинания на стыке союзов решается на формальном уровне: если вторая часть двойного союза то есть, тогда запятая перед если не ставится: Но если он захочет это сделать, то ему просто не позволят. Если же второй части союза то в предложении нет, запятая перед если ставится: Но, если он захочет это сделать, ему просто не позволят. Об этом можно прочесть в справочнике Д. Э. Розенталя (раздел «Запятая на стыке двух союзов»). В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации», вышедшем в 2006 году, это правило сформулировано так: Запятая на стыке союзов ставится, если после первого союза следует одиночный союз. Если после первого союза следует двойной союз, то запятая на стыке союзов не ставится. Это случается, когда подчинительный союз имеет в главной части предложения слово «то».

В «Словаре русского арго» В. С. Елистратова указано: Ясный месяц, ясный перец - эвфемизм от нецензурного.