У нас уже возникал этот вопрос. Ответ отрицательный. В слове гекатомба выделяются два корня: hekaton (числительное 100) и be (бык). Это жертвоприношение, при котором забивали 100 быков - особо торжественное действо. Имя же Гекаты Hekate, как и большинство имен греческих богов, негреческого происхождения. Есть всякие теории, но в конечном счете только имя Зевса надежно этимологизируется на индоевропейской почве, Остальные - либо из Междуречья, как Афродита - Астарта, Иштар, либо догреческого происхождения, либо явные прозвища, как Дионис ("Зевсово дитя"), да и того часто ассоциируют с семитским Адонисом...В общем - не родственны эти слова.
Произносим твердо, а пишем букву е, а не э — такова закономерность русского письма. Ср.: партер, темп, термос, спрей, модель и др. Не в начале корня после согласных буква э пишется для передачи гласного э и одновременно для указания на твердость предшествующего согласного только в немногих нарицательных словах иноязычного происхождения. Раньше их было совсем мало (мэр, пэр, сэр), в последние годы список исключений расширился (ср.: сэндвич, фэнтези, фэншуй и др.). Но всё-таки языковеды пытаются максимально сдерживать этот процесс и подавляющее большинство новых заимствований кодифицируют в словарях в написании через е, например: бренд, тренд, лейбл, секонд-хенд, хештег и многие другие.
Точный ответ на Ваш вопрос содержится в академической «Русской грамматике» (см. § 984): «Морф -жды выступает после гласных в наречиях, где основа мотивирующего слова выступает с наращением за счет финали, совпадающей с флексией им. п. числ.: дважды, трижды, четырежды».
Поскольку финаль, совпадающая с флексией (т. е. окончанием) именительного падежа, перед суффиксом — это то, что очень сложно объяснить в рамках школьной программы, любой школьный разбор этого слова по составу обречен быть неточным, и уже не так важно, как будет выделено это а — как часть корня, как отдельный суффикс или как окончание.
Запятые не нужны. Нет оснований для их постановки.
Запятая нужна. Ставится запятая в сложносочиненном предложении перед союзом и.
Если все как один употребляется в значении "все вместе", запятая не требуется.
Но в первом примере нужна запятая: Вся рота, как один, открывает огонь.
Запятая не нужна.
1. В подготовленном Орфографической комиссией РАН полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2006) находим ответ на Ваш вопрос: «...Следует иметь в виду, что в существительных после согласных с, з, ж не пишутся суффиксы -щик, -щин(а), а пишутся -чик, -чин(а): ср. сварщик, мойщик, но резчик, разносчик, перебежчик; Орловщина, Смоленщина, но Одесчина, Воронежчина. Буквосочетание сщ встречается только на стыке приставки и корня, напр.: расщепить». Как видите, здесь всё однозначно.
2. Сочетание дни города можно понять как несколько дней (одного года), в рамках которых проходят какие-либо торжественные мероприятия (ср.: Дни славянской письменности и культуры). Поэтому лучше перестроить фразу (например: на протяжении многих лет принимали участие в праздновании Дня города).
