Проблема в том, чем является часть гипер-. Есть две точки зрения: гипер- в значении «над, сверх» относят к приставкам или считают первой частью сложного слова. Если это приставка, то перенос гипе-ринсулинемия допустим, как и гипер-инсулинемия. Ср. варианты из правил: бе-заварийный, беза-варийный, без-аварийный; ра-зоружить, разо-ружить, раз-оружить; по-дучить, поду-чить,  под-учить.

Если же гипер- – часть сложного слова, то согласную букву от первой основы отрывать нельзя, соответственно из двух приведенных вариантов правильным будет только второй.

Полагаем, что этот вариант переноса – как учитывающий морфемное членение – для длинного термина предпочтительнее: слово будет легче прочитываться. 

К сожалению (или к счастью), программы переноса пока не могут учесть все нюансы правил и сложности грамматики.

Во втором ряду слово отыграться образовано суффиксальным (постфиксальным) способом от отыграть. Слово современный содержит приставку со-, оно образовано приставочно-суффиксальным способом. Сложности возникают со словом бессмыслица. Автор тестового задания трактует это слово как образованное приставочно-суффиксальным способом по образцу слов бескормица (от корм), беспутица (от путь). Такое решение вполне обоснованно. В «Словообразовательном словаре русского языка» А. Н. Тихонова это слово действительно определяется как образованное суффиксальным способом от бессмысленный. Это решение, на наш взгляд, не имеет преимуществ перед вышеупомянутым. Но следует согласиться с тем, что авторам тестовых заданий следует использовать только те слова, которые не допускают различных интерпретаций при анализе.

Максимально подробно академические правила употребления прописных и строчных букв сформулированы сейчас в работах членов Орфографической комиссии РАН Е. В. Арутюновой, Е. В. Бешенковой и О. Е. Ивановой (Арутюнова Е. В., Бешенкова Е. В., Иванова О. Е. Русское правописание с комментариями. Книга 4. Прописные и строчные буквы в собственных именах. Графические сокращения. М., 2023; см. также эту статью).

Специалисты отмечают, что артикль аль (варианты его написания, отражающие ассимиляцию согласного с последующим согласным ад, аз, ан, ар, ас, ат, аш, и другие его модификации, например: ль, ш, т, зуль, оль, уль), согласно правилу о написании служебных слов, пишется со строчной буквы (как в середине, так и в начале именной конструкции). Только в начале предложения артикль пишется с прописной буквы.

При этом слово Аль (‘род, семейство, династия’), которое в русском языке совпадает по произношению и буквенному составу с артиклем аль, но употребляется в составе названий правящих династий, пишется с прописной.

При написании цифрами верно: с 2 января. При написании буквами: со второго января (действует фонетическая закономерность).

Лучше с союзом И, чтобы избежать прочтения "активную позицию в связи с 50-летием".

Имеется в виду, что право возникает в указанный день.

Верно написание строчными буквами: вермахт, люфтваффе и т. д.

Слова том-ям еще нет в нормативных словарях, пока никто не может уверенно говорить о его правильном написании. Мы можем лишь наблюдать и фиксировать тенденции, которые показывают, что с 2007 года, когда Грамотой был дан ответ № 231511, в употреблении закрепилось дефисное написание названия супа. Использование кавычек и прописной буквы возможно на ценнике, в меню и т. д. (там, где название используется как торговое, особенно в сочетании с родовым словом). В бытовой речи кавычки и прописная не нужны.