Правильно: его лицо было серьёзно и озабоченно.  

Это сложноподчиненное предложение, и запятая между его частями нужна. Поскольку изъяснительная придаточная часть расположена перед главной, вместо запятой можно поставить тире: Как подобное вообще возможно — было за пределами его понимания.

Корректно: ОСАГО (обязательное страхование автогражданской ответственности), ка́ско и КА́СКО, нескл., с. (сокр.: комплексное автомобильное страхование кроме ответственности). 

Такое сокращение не относится к числу общепринятых. Однако слово календарный можно сократить как календар. или календ.

Корректно дефисное написание: аgile-подход, аgile-методология.

Правильно: школа обязуется осуществлять повышение квалификации специалистов за свой счёт. 

Следует сказать: «Садитесь, пожалуйста». О глаголах садиться и присаживаться можно прочитать в этой статье.

После даты выдачи документа должен пройти как минимум один год, прежде чем наступит день (дата), когда можно обращаться с заявлением. Иными словами, формулировка подразумевает следующую календарную последовательность трех сроков: 1) первый промежуток времени, когда выдан документ; 2) второй промежуток времени, равный одному году; 3) момент времени (день), когда обращаются с заявлением. Фразы с сочетанием не позднее вполне объяснимо вызывают трудности у авторов и читателей текстов (см., в частности, пример в вопросе 322482). С помощью сочетания не позднее может быть обозначена сложная комбинация разных сроков — промежутков и моментов времени. Рекомендуем за дополнительными разъяснениями обратиться к материалу статьи Е. Геккиной «Время и деньги в сложных грамматических условиях» (опубликована в «Трудах Института лингвистических исследований» в 2016 году).

Если по условиям соревнования или конкурса звание присваивается только одной компании, то верно: самой интеллектуальной.

Возможно: место в соревнованиях "Кубок данной местности", место НА кубке.