Правильно через дефис: релакс-музыка.
Слово не зафиксировано в академическом орфографическом словаре. Правилам соответствует слитное написание, ср.: копирайт, копигольд, фотовидеокамера, фотокинопромышленность.
Возможны варианты: склонять только вторую часть или склонять обе части. Например, в родительном падеже: прима-балерины и примы-балерины.
Ваше написание правильно.
Следует писать с дефисом (контр-я) по аналогии с зафиксированным сверх-я.
Академический орфографический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН рекомендует написание батл.
Вы написали это сочетание правильно: не с руки.
Слово находится за пределами литературного языка. Орфографически корректен первый вариант. Ср.: бедняк — бедняцкий, казак — казацкий, плотник — плотницкий.
