Верно раздельное написание частицы и слитное написание глагола: ...он двоих таки недосчитался.

Русский орфографический словарь:

таки — частица, пишется через дефис с предшествующим глаголом (верну́лся-таки), наречием (дово́льно-таки, пря́мо-таки) и в словах всё-таки, та́к-таки; в остальных случаях — раздельно (о́н таки прие́дет)

недосчита́ться, -а́юсь, -а́ется (обнаружить при подсчете недостачу)

В подобного рода названиях слово имени (им.) пишется со строчной буквы (см. правила): Поезд прибыл на станцию имени Максима Горького.

Действительно, словосочетания сердце погоста и шапка кудрей устроены сходным образом: в обоих главный компонент — слово, употребленное в переносном значении. Однако вопрос, который Вы задаёте, следует адресовать автору учебника — Л. В. Балашовой: ведь это она утверждает, что перед нами неделимое словосочетание.

Следует иметь в виду еще одну вещь: нельзя думать, будто в лингвистике существуют общепринятые (то есть принимаемые большинством лингвистов) решения на все случаи жизни. В огромном количестве случаев мнения лингвистов об одних и тех же явлениях расходятся. Квалификация методистов поэтому должна оцениваться в первую очередь по тому, умеют ли они отличать спорные явления от бесспорных, чтобы не включать всё то, что оценивается лингвистами по-разному, в учебные и контрольные задания.

Кавычки не нужны, но смысл предложения вне контекста неясен, поэтому судить о пунктуации не представляется возможным.

Устоявшаяся форма подобного фразеологизма — ни жарко ни холодно. Это экспрессивное разговорное выражение употребляется в значении 'безразлично, всё равно' (о равнодушном отношении к кому-либо или чему-либо).

Нет, такое употребление пока что не считается нормативным.

Можно оценить корректность выражения, только зная его целиком. Например, выражение Автор размышляет о том, что важно для людей его поколения вполне корректно.

Верно со строчных букв и без кавычек: хрущёвская оттепель. Подробнее о таких наименованиях см. ответ на вопрос № 320189.

Правила постановки знаков препинания при вводных словах, стоящих в начале обособленного оборота, который расположен в конце предложения, и относящихся к этому обособленному обороту, требуют более определенных формулировок, о чем см. статью С. В. Друговейко-Должанской «О корректировке правил пунктуационного оформления вводных конструкций (тире перед вводными словами и словосочетаниями)» (#ТОТСБОРНИК: Сборник научных трудов по материалам Тотального диктанта. Новосибирск, 2017. Вып. 2. С. 132–145). В приведенном Вами предложении наиболее уместна, с учетом пояснительного характера обособленного оборота, такая постановка знаков: Поэтому то, о чём он пишет далее, он узнал от коллег — очевидно, по сарафанному радио или непосредственно от Василия.

Здесь всё дело в обстоятельстве времени.

Если его нет, то событие, описываемое предложением, по умолчанию воспринимается как однократное, и тогда работает разница в значении видовых форм: Андрей принес учебник = ‘принес, и теперь учебник находится здесь, это состояние сохраняется’, Андрей приносил учебник = ‘принес, но затем унес, состояние присутствия учебника не сохранено’. В этом случае частное значение формы несовершенного вида (Андрей приносил учебник) — общефактическое.

Если же обстоятельство присутствует, оно модифицирует значение формы несовершенного вида. В частности, если это обстоятельство типа каждую неделю, то частновидовое значение — неоднократное: действие повторялось несколько раз (конкретно в этом примере — неограниченно-кратное значение). При этом оттенок смысла, связанный с сохранением или несохранением состояния ‘предмет находится у того, кому его принесли’, зависит от природы предмета. Если речь идет о цветах (и о любом другом подарке или расходуемом продукте, материале), то по умолчанию понятно, что это состояние сохранялось: Каждую неделю Мирон приносил Наталье цветы / картошку / крупу / конфеты и т. д. Если же речь идет о другом предмете, то, конечно, приносивший предмет затем уносил его: На каждый урок Андрей приносил свой учебник.