Правильно: под подпись или под расписку.
Страдать от фашизма, страдать под гнетом фашизма - эти обороты возможны.
Это тема научного исследования. Мы не можем ответить на Ваш вопрос в рамках жанра "справки".
Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.): салат «Селедка под шубой». При передаче на письме бытовой речи правильно строчными без кавычек: какой Новый год без селедки под шубой!
Такое употребление некорректно. Вдохновленным на создание картины может быть человек.
Словарная рекомендация: до пола, до полу.
Правильно: полсуммы. Пишутся слитно сочетания с пол- форм родительного падежа существительных (а также порядковых числительных в функции существительных), если эти формы начинаются с согласной буквы, кроме л.
