В звуковой системе современного русского литературного языка существует противопоставление твердых (= непалатализованных) и мягких (= палатализованных) согласных фонем. Имеются «парные» по признаку твердости/мягкости согласные, которые различаются только этим признаком: например, /п/ ↔ /п’/, /т/ ↔ /т’/, /к/ ↔ /к’/, /д/ ↔ /д’/, /з/ ↔ /з’/ и др. Есть также «непарные» по этому признаку согласные: например, только твердые /ц/, /ш/, /ж/ и только мягкие /ч’/, /ш’:/. Иногда говорят, что непарные не входят в корреляцию согласных по твердости/мягкости.
Кроме палатализации (т. е. поднятия средней части спинки языка к  твердому нёбу), твердость согласных в русском языке, характеризуется также веляризацией (т. е. поднятием задней части языка к мягкому нёбу и его напряжением вместе с нёбной занавеской), которая на слух и создает впечатление особой твердости русских непалатализованных
согласных. Особенно ярко веляризация проявляется в твердых /л/, /ш/, /ж/. С точки зрения своей функции в системе русских согласных различие между палатализацией и веляризацией колоссальна, хотя и та и другая представляют собой дополнительную артикуляцию согласного. Палатализация, как говорят лингвисты, фонологизована, т. е. является постоянным дифференциальным признаком согласной фонемы, в то время как веляризация не фонологизована, т. е. является переменным признаком фонемы, т. к. представлена не во всех позициях. Так, в  современном русском произношении веляризация твердого согласного отсутствует (или по крайней мере может отсутствовать) в позиции
перед мягким согласным, как, например, /т/ и /д/ в словах дверь, твёрдый и т. п., в отличие от /т/ и /д/ в словах два, тварь и под. Такие невеляризованные согласные могут быть обозначены и часто обозначаются в фонетической (но не фонематической!) транскрипции
символами [д·] и [т·] (ср. /дв’ер’/ = [д·в’ер’], /тв’ордыj/ = [т·в’ордыj]). Таким образом, твердые согласные фонемы в русском языке могут реализоваться веляризованными и невеляризованными звуками (аллофонами). Именно твердые невелярезованные согласные звуки и названы в книге Аванесова "Русское литературное произношение"  полумягкими (= полутвёрдыми) согласными.

Правильно: отворена, по лесу и по лесу. 

Всё верно, наречие с ходу в разных значениях пишется раздельно.

Знаки препинания расставлены верно.

Вы правы, верно раздельное написание. 

Верно: переговорная, переговорная комната.

В данном случае возможен и вариант с запятой, и с тире. Если по контексту уже ясно, что героя, которому принадлежит реплика, зовут Андрей, то лучше поставить запятую. Если это еще неизвестно, то лучше поставить тире (так читатель не подумает, что Андрей — это обращение).

Слово чинить 'исправлять, делать годным для дальнейшего употребления, действия' вовсе не просторечное и даже не разговорное, оно стилистически нейтральное и общеупотребительное – как и ремонтировать. Одинаково правильно, например, чинить часы и ремонтировать часы, чинить стол и ремонтировать стол, чинить одежду и ремонтировать одежду. Но эти слова не всегда взаимозаменяемы – так, квартиру можно ремонтировать, но не чинить.

Оба варианта правильные. Слово входите подойдет, когда приглашают внутрь помещения, а словом проходите можно предложить как войти, так и выйти. В остальном принципиальной разницы между этими фразами мы не видим.