В статье, на которую Вы ссылаетесь, этот факт объяснен: "В декабре 1906 года Распутин подает прошение на высочайшее имя об изменении своей фамилии на Распутин-Новых, ссылаясь на то, что многие его односельчане носят ту же фамилию, из-за чего могут быть недоразумения. Прошение было удовлетворено (Варламов А. Н. [tululu.org/read14005/ Григорий Распутин-Новый]. — М.: Молодая гвардия, 2007. — 851 с. — (ЖЗЛ). — ISBN 978-5-235-02956-9). 

1. Неясно, о каких именно "древних" словарях Вы пишете. Из приведенной Вами словарной цитаты следует, что: 1. Глагол садить (заголовочное слово) имеет стилистическую окраску как народно-разговорное слово; 2. Значения глагола садить совпадают (=) со значениями глагола сажать — именно в этой словарной статье их и следует искать. 

2. Прошу садиться — стандартная этикетная формула. См. о садиться и присаживаться на https://gramota.ru/biblioteka/spravochniki/slovar-trudnostey/prisazhivatsya-i-saditsya

Спасибо за поздравления!

1. Возможны оба варианта. Это указано и в названном Вами словаре, а именно статье "Установить".

2. Имя существительное, которому предшествует два или несколько определений, указывающих на разновидности предметов, ставится в форме  единственного  числа, если перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны, например: в правой и левой руке (половине, стороне и т. п.); оперное и балетное искусство; промышленный и аграрный переворот; большим и указательным пальцем; левой и правой ногой.

Возможно слитное и раздельное написание. Слитно пишется наречие вдаль (глядеть вдаль), раздельно – сочетание предлога с существительным (в даль моря, в даль веков, в даль прожитых лет, всматриваться в даль). 

Разграничить случаи слитного и раздельного написания иногда очень сложно. Подробнее см. в статье Н. Б. Кошкарёвой «Куда уходит дорога? И куда уходит жизнь? (о слитном / раздельном написании вдаль и в даль)» во втором выпуске сборника научных трудов по материалам Тотального диктанта. 

Написание каждого слова в названии организации с прописной буквы, разумеется, нарушает орфографическую норму русского языка. Конечно, если в таком виде (каждое слово с прописной) название уже зафиксировано в уставных документах организации, то в деловой документации, связанной с  деятельностью компании, такого написания надо придерживаться. Но в другого рода текстах (в том числе в газетной статье, посвященной данной организации) следует руководствоваться правилами русского правописания и писать: Инженерный центр новых технологий.

Правила есть. О кавычках внутри кавычек см. в «Письмовнике». Дополнение к изложенному в этой статье правилу: в качестве кавычек «третьей ступени» рекомендуются кавычки второго рисунка, т. е. „лапки“ (или – в текстах, набранных на компьютере, – "компьютерные кавычки"). При этом сохраняется основное правило: кавычки одного рисунка рядом не повторяются. Таким образом, предпочтительный в данном случае вариант: Обрывок страницы содержал фразу: «Максим радостно крикнул: "Я купил 2 билета в кинотеатр "Аврора"».

Форма им. п. мн. ч. существительных проверяется в словарном порядке (по словарю). См. рубрику "Проверка слова" на нашем портале. Словарная статья читается следующим образом: если в статье нет особых указаний на форму множественного числа (помета мн.), то используется окончание И или Ы. Если же требуется иное окончание (или допустимы варианты), то ставится помета: мн. -а. Например:

директор, -а, мн. -а, -ов

слесарь, -я, мн. -и, -ей и -я, -ей

Род аббревиатур обычно определяют по опорному слову в расшифровке аббревиатуры или же по родовому слову: НАТО (альянс) постановил, МГУ (университет) принял новых студентов, СНГ (содружество) выступило с инициативой, ЮНЕСКО (организация) объявила 2009 год Годом Гоголя.

В случае с такими аббревиатурами, как Росмолодежь, Минспорттуризм и т. п., род определяется по несокращенному компоненту (молодежь - ж. р., туризм - м. р.).

Больше информации о грамотном употреблении аббревиатур в тексте можно найти в статье Как склонять аббревиатуры.

Орфографически верно: экомузей, экожурналистика. Но написание собственных наименований может иногда отличаться от "орфографически верных".