Кочерёг.
Правильно: допуски.
Вполне нормативно.
Правильно: лифты.
В некоторых случаях такая форма, вероятно, может быть уместна. Нужно судить по контексту.
Корректно с прописной буквы: многие Герои Социалистического Труда.
Запятая нужна, чтобы оборот по поручению начальника однозначно относился к сказуемому. Об обособлении оборотов с непервообразными предлогами см. в «Справочнике по пунктуации».
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Форма ед. числа этого слова неупотребительна. Однако «Большой толковый словарь» под ред. С. А. Кузнецова фиксирует ед. число: (один) мант, (два) манта.
Вполне употребимо.
