Да, эту мужскую фамилию обязательно нужно склонять. Все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (независимо от их языкового происхождения), в русском языке склоняются (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих).
Склоняется только мужская фамилия. Правильно именно так: Горбоконя, Горбоконю и т. д.
Фамилия Бандурка склоняется как в женском, так и в мужском варианте: Бандурки, Бандурке, Бундурку, Бандуркой, о Бандурке.
Да, фамилия Головня склоняется (и мужская, и женская): в честь Екатерины Головни.
Да, эта фамилия склоняется (и мужская, и женская).
Творительный падеж: Барацем. Ср.: абзац – абзацем.
По правилам мужская фамилия Гельвер склоняется, женская — нет. Подробнее см. в "Письмовнике".
Мужская фамилия Волчок склоняется. Возможны два варианта: с выпадающим О (Волчка, Волчком) и менее распространенный вариант с невыпадающим О (Волчока, Волчоком).
Возможны оба варианта, но лучше: заведующей (если далее следует имя и фамилия заведующей).
Нужно склонять: тетрадь Деды Елены.
