Фраза корректна, но трудна для восприятия: между модальным глаголом старались и инфинитивом препятствовать помещен еще один модальный глагол могли (в данном случае образующий цельное по смыслу выражение как могли = 'по мере сил'). Лучше отредактировать предложение, изменив порядок слов: Они старались препятствовать развитию торговли как могли.

Корректно написание со строчной буквы, так как это не официальные названия. 

И. п. Жан; Р. п. и В. п. Жана; Д. п. Жану; Т. п. Жаном; П. п. (о) Жане.

Правильно: ГАУК «Театр» заключило договор. Согласование — с родовым словом, в данном случае с опорным словом аббревиатуры (учреждение... заключило). Ср.: кинотеатр «Победа» был построен (не была построена), партия «Яблоко» была основана (не было основано).

Постановка кавычек зависит от того, что именно перед нами – географическое название (топонимы в кавычки не заключаются) или условное наименование (такие наименования пишутся в кавычках). Насколько можно судить, «Танай» – горнолыжный туристический комплекс, находящийся недалеко от озера Танай; название дано по названию озера. Поэтому: озеро Танай (географическое название, кавычки не нужны), горнолыжный комплекс «Танай», горнолыжный курорт «Танай» (условное наименование заключается в кавычки). Ср.: курорт Карловы Вары (кавычки не ставятся, т. к. перед нами географическое название, Карловы Вары – это город, ставший курортом).

Корректно: театр «Ан-дер-Вин». Дефисы в названии – по аналогии с названием берлинской улицы Унтер-ден-Линден (такая фиксация в орфографическом словаре В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?»).

Правильно: В 1912 г. на территории г. Астрахани проживало 18 263 татарина. 

Правильно твердое произношение: Марк Т[вэ]н.

В предложении Всё складывается как нужно запятая не ставится, потому что оборот с союзом как выполняет функцию обстоятельства образа действия. В предложении Всё идет так, как надо запятая ставится, потому что это сложноподчиненное предложение с соотносительным словом так в главной части.