Корректно: рассчитаться с помощью карты, рассчитаться картой (ср.: рассчитаться наличными).
Второй вариант кажется нам более удачным, чем первый.
Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.
Такой оборот возможен в разговорной речи.
Корректно: играть в боулинг.
См. в Проверке слова.
Да, запятая между частями сложносочиненного предложения нужна.
См. «Словарь трудностей».
Вопросительный знак нужен, а запятая после сочетания в карте не нужна.
В новостном тексте сокращать "масштаб" не следует.
