Оба варианта верны.
Так говорить нельзя. Верно: имя для нее. Формы дательного, предложного падежа: к ней, о ней.
Пунктуация верна.
Да, сочетания корректны.
Об оформлении подписей к иллюстрациям см.: А. Э. Мильчин, Л. К. Чельцова. Справочник издателя и автора (М., 2003 и более поздние издания).
Правильно: дома культуры, природы, молодежи. С большой буквы пишется первое слово наименования – имени собственного. Собственные имена выделяют предмет из ряда однородных. А множественное число как раз указывает на ряд однородных предметов, т. е. здесь перед нами нарицательные существительные.
Пунктуация зависит от контекста. Если это не подпись к иллюстрации, не часть списка в выходных данных книги и т. п., то по основному правилу тире требуется.
Также следует поставить пробелы между инициалами и фамилией: А. П. Лежнев.
Это не ошибка. Соответствующее значение слова бюджетный зафиксировано в словарях.
Кавычки не нужны.
Мужская фамилия Граф склоняется: Графа, Графу и т. д.
