Корректно раздельное написание. Частица не выражает отрицание, не создавая нового слова, тогда как с помощью приставки не- создается слово. Но здесь отрицается понятие, а не создается новое.
Фамилия не склоняется.
Беглую гласную при склонении фамилий принято оставлять: Бореца.
Возможны оба варианта, но предпочтительно склонение без выпадения гласного: Украинецу.
Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, женские – нет. Таковы законы русской грамматики.
Правильнее называть такие слова конверсивами.
См. ответ на вопрос № 240838.
И все же Ваша фамилия склоняется. Подробнее...
Корректно: Крекотеня, Крекотеню, Крекотенем, о Крекотене.
Для разрешения спора заглянем в словари. Мыться означает 'мыть себя, свое лицо, руки, тело'. Умыться (несов. умываться) – 'вымыть себе лицо, руки'. (определения из «Словаря русского языка» под ред. А. П. Евгеньевой – «Малого академического словаря»). Так что победа в споре за Вами.
