Правильно: гостиница в городе Воронеже. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно склонять. Подробнее см. в "Письмовнике".
Номера Олимпийских игр традиционно обозначают римскими цифрами, верно: X Олимпийские игры.
Географические названия среднего рода, оканчивающиеся на -е, -о, обычно не склоняются в сочетании с родовым словом: в городе Яровое (это название не склоняется, т. к. при склонении сложно будет восстановить исходную форму: в городе Яровом – это город Яровой или город Яровое?).
Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).
Следует писать с большой буквы: Они могут стать гостями первых в истории России зимних Игр.
Название города нужно согласовывать: в г. Пушкине, план г. Пушкина.
См. в «Словаре трудностей». В данном случае верно: туристических.