Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Предложение нуждается в редактировании. Однородные причастные обороты лучше переместить после определяемого слова, между ними поставить союз и и согласовать причастия с существительным граждане: На получение жилых помещений жилищного фонда Воронежской области по договорам социального найма имеют право следующие категории граждан, постоянно или временно проживающих на территории Воронежской области и состоящих на учете в качестве нуждающихся в жилых помещениях.
Нет, не верно.
В объявлении есть ошибка в согласовании подллежащего и сказуемого по числу. Верно: ...будет проводиться обследование жилых помещений.
Правильно.
Такое употребление корректно, кавычки не требуются: живой концерт, живое выступление.
Предпочтительна форма единственного числа сказуемого.
Да.
Одно из значений слова экология, зафиксированное в словарях: "Природная среда, среда обитания человека, живых существ и организмов, а ткж. состояние такой среды". В этом смысле сочетание беречь экологию корректно.
