Законы русской грамматики требуют склонять мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный звук (а буква й обозначает согласный звук j). Фамилия Горай склоняется по образцу других слов второго (по школьной грамматике) склонения, ср: лай, май, каравай, Дубай и др. Сказать, например, думал о Горай вместо думал о Горае то же самое, что родился в май вместо родился в мае.

Вряд ли Вы найдете готовые ответы на все подобные вопросы. В школьной практике, например, одной из самых распространенных орфографических ошибок считается употребление буквы Ь в формах глаголов третьего лица ед. числа (правда, официальной статистики на этот счет нет). В печати ситуация, видимо, иная. Возможно, какие-то полезные статистические сведения получится найти в кандидатских и докторских диссертациях, посвященных правильности речи и правописанию.

Это безличное предложение, главным членом которого является комплекс грустно было уезжать. В составе этого комплекса грустно — модальный компонент, выраженный словом категории состояния, было — формальная связка, уезжать — смысловой компонент, выраженный инфинитивом. Это одна из стандартных моделей безличного предложения с главным членом, построенным по модели сложного трехчленного сказуемого. В школьной грамматике — построенным по модели (усложненного) составного глагольного сказуемого.
 

Верно: А вообще-то, вот что: с первым днем весны, друзья!

В первом предложении запятая не требуется, это простое предложение с однородными сказуемыми.

В предложении о Гагарине запятая нужна, так как это сложное предложение. Подлежащие здесь: Гагарин и он. Но следует сказать, что в целом предложение составлено некорректно (местоимение он обычно указывает на ближайшее существительное мужского рода, а это существительное космос, а не Гагарин). Фразу следует перестроить.

Что - это союзное слово, в предложении выполняет функцию дополнения.

Обстоятельственное сочетание в семье потомственных физиков можно считать уточнением обстоятельства в Дубне (уточнение — это переход от более широкого понятия к более узкому); в этом случае логическое ударение будет нести как одно, так и другое обстоятельство. Однако обстоятельство в Дубне само по себе достаточно конкретно, а потому в обязательном уточнении не нуждается. Без запятой логическое ударение будет нести только обстоятельство в семье потомственных физиков.

Корректно: В случае ухода работника на пенсию по любым основаниям Работодатель выплачивает ему выходное пособие в размере до 30-кратного (тридцатикратного) среднемесячного дохода за последние 3 (три) месяца не позднее чем в 2-недельный (двухнедельный) срок с момента выхода приказа о разрыве трудовых отношений с Работником или подачи Работником заявления об увольнении по собственному желанию и ежемесячную дополнительную пенсию в размере, соответствующем п. 3. настоящего Трудового договора, пожизненно.

Да, в обоих примерах слово учитель стоит в винительном падеже. А вот, например, в словосочетании портфель учителя  слово учитель стоит в форме родительного падежа.

Определить падеж очень просто: надо подставить слово первого (по школьной грамматике) склонения, потому что у слов первого склонения разные окончания в винительном и родительном падежах. Возьмем, например, слово учительница. Гордость за учительницу, уважать учительницу – винительный падеж. Но: сумка учительницы – родительный падеж.