Корректно со строчной буквы. Что касается буквы ё, то согласно действующим правилам орфографии в текстах обычного характера она употребляется выборочно. Рекомендуется употреблять ее в собственных именах – фамилиях, географических названиях, напр.: Конёнков, Неёлова, Катрин Денёв, Шрёдингер, Дежнёв, Кошелёв, Чебышёв, Вёшенская, Олёкма. Ваш случай относится именно к таким: рекомендуется, но не является обязательным.
Корректно: — Не дай аллах, где-нибудь еще спину сорвешь. Врагу скажешь: «Подождите, сейчас я выпрямлюсь, отлежусь дней десять, и будем дальше воевать»? У тебя куча болезней.
Корректно: был получен 2 255 691 медицинский документ.
Вопрос об уместности создания двойственной коннотации относится к области не лингвистики, а этики.
Корректно: ГБОУ «СОШ № 7 г. Сунжа им. С. Хашагульгова».
Корректно: раза в два или три.
Корректно: в соответствии со сведениями, содержащимися в реестре.
Корректно: защипнуть края теста.
Корректно: бриллиант (и т. п.) "Око Зевса".
Корректно со строчной: Получен патент РФ на изобретение.
