Использование таких сочетаний в газетном тексте – это уже не ситуация официального употребления (если только в газете не приводится полный текст указа, закона и т. п.). А значит, в тех случаях, когда официальное написание противоречит орфографическим правилам, в газетных статьях лучше писать с соблюдением этих правил. Например: Государственная Дума (официальное употребление) и Государственная дума (в газете).

По основному правилу верно: Отец был летчик, а сын избрал ученую карьеру. Коллеги успели вовремя, а мне не хватило лишь десяти минут.

Между частями сложносочиненного предложения ставится тире, если вторая часть предложения заключает в себе значение результата, следствия, резкого противопоставления (чаще перед союзом и, реже перед союзами но, а). В приведенных примерах, на наш взгляд, лучше ставить запятые.

Правила склонения названий с сокращением г. соответствуют правилам склонения названий со словом город. Поскольку разные специалисты дают разные рекомендации для названий вроде Старый Оскол (подробнее см. в "Письмовнике"), следует сделать вывод, что допустимы и склоняемый, и несклоняемый вариант.

Извините, ваш вопрос непонятен. 

Действительно, существует особая группа территорий, представление о которых включает исторический, политический, этнический, культурный, эстетический и пр. компонент, в отличие от собственно географических (природных) территорий, названия которых не содержат никаких дополнительных коннотаций. Например, Балтия — это не территория вокруг Балтийского моря, а Латвия, Литва и Эстония, связанные с Россией общей историей; под Восточной Европой понимают не просто часть европейского континента, а часть, населенную преимущественно славянскими народами. Север — полярные и приполярные территории, Арктика. Но сочетание Юг России в написании с заглавной буквы закрепилось в русском культурном фонде как название территории, подконтрольной белогвардейцам в 1918—1920 гг., ср.: Вооруженные силы Юга России — объединенные вооруженные силы Белого движения, образованные 8 января 1919 г. в результате соглашения между командующим Добровольческой  армией А. И. Деникиным и атаманом Донского казачьего войска П. Н. Красновым. Только в таком значении и следует писать с заглавной буквы Юг России.

Вы совершенно правы, здесь должна употребляться частица не: Не знаю ни одного учителя, который бы не возлагал надежды на то, что... Здесь именно отрицание, смысл такой: есть ли учителя, которые не возлагают надежды? Не знаю ни одного такого учителя.

Байка – короткий забавный рассказ анекдотического или поучительного характера; побасёнка. // Вымысел, выдумка, небылица.

Именно слово байка указывает на то, что фраза ставит под сомнение сжигание.

1. Сочетание холодная война пишется без кавычек (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).

2. Следующие за так называемый слова не заключаются в кавычки.

См. в «Письмовнике». Статья написана на основе книги «Грамматическая правильность русской речи. Стилистический словарь вариантов» (авторы: Л. К. Граудина, В. А. Ицкович, Л. П. Катлинская).