Верно: со скОльких лет. Первый вариант ошибочный.
Правильно: по пятьсот километров.
Глагол шастать выражает неодобрение. Таким образом, если у Вас нет цели показать неодобрение и если это не шуточный текст, то верно: бродят по полю.
Используется дефис, кавычки не нужны: по-сырому, по-сухому.
После союза но запятая ставится при наличии паузы и не ставится, если паузы нет. Решение принимает автор текста.
См. в «Словаре трудностей». В данном случае верно: туристических.
Можно набрать в окне «Искать на Грамоте» *ща* и *щу*.
Здесь запятая не требуется.
После присоединительного союза (в начале самостоятельного предложения) запятая обычно не ставится, так как союз тесно примыкает к следующему за ним вводному слову. Однако запятая возможна при интонационном выделении вводных слов. Окончательное решение принимает автор текста.