Об этом Вам может рассказать только обладатель фамилии. Возможны варианты.
Правильно: Чхетии Марии Ривазовне.
Гласный Ы или И сохраняется и в инфинитиве, и личной форме: подпрыгИвать - подпрыгИвает. Гласный Е в личной форме пропадает (ср.: потчЕвать - потчует).
Правильно: в общем, ср.: вообще.
Женский род: кроссовка.
Существительное женского рода от завсегдатай не образуется, но это слово вполне может быть использовано по отношению к лицу женского пола, например: Маша – завсегдатай ночных клубов.
В соответствии с английским первоисточником ударение нужно ставить на первый слог.
Это название организации уместно заключить в кавычки. Но возможно и функционирование сочетания как нарицательного - строчными буквами, без кавычек: союз (объединение) безбожников.
