Если есть необходимость сохранить именно такую конструкцию, следует использовать висячий дефис только в усеченном слове: сохранение взаимоуважения и -выручки.

Корректно: рубленый, на студеном ключе колодец. Полагаем, что на студеном ключе не является зависимым словом к отглагольному определению.

Пояснительный оборот в конце предложения отделяется тире: Тогда она себе дала милое прозвище — Мара.

Верно: в Донбассе.

Знаки расставлены верно.

Тавтологией называют употребление однокоренных слов в предложении или тексте. Тавтология отнюдь не всегда является стилистической ошибкой. Например, часто встречается она в пословицах и поговорках: Дружба дружбой, а служба службой; Жизнь прожить — не поле перейти; Вольному воля; во фразеологических оборотах: ходить ходуном, битком набит, есть поедом. Намеренное использование однокоренных слов служит средством лексической выразительности в художественной литературе и публицистике: Горьким смехом моим посмеюся (Н. Гоголь); Как ум умен, как дело дельно, // Как страшен страх, как тьма темна! // Как жизнь жива! Как смерть смертельна! // Как юность юная юна! (З. Эзрохи).

В сочетании рассказать рассказ присутствует ошибка, а в сочетании написать (писать) письмо ошибки нет. Это связано со значением слов рассказ и письмо в этих словосочетаниях.

Рассказ ― это то, что рассказывают (см., например «Большой толковый словарь» под ред. С. А. Кузнецова https://gramota.ru/poisk?query=рассказ&mode=slovari&dicts[]=42).

Письмо — это написанный текст, передаваемый, посылаемый кому-л. для какого-л. сообщения (https://gramota.ru/poisk?query=письмо&mode=slovari&dicts[]=42; см. 4 значение). Невозможно подобрать неоднокоренной синоним, необходимый для передачи этого значения в сочетании с глаголом написать (писать), поэтому употребление однокоренных слов оправдано. Ср. аналогичные ситуации, в которых словосочетания с однокоренными словами нормативны: свет от свечи, закрыть крышкой, варим варенье и т. п. 

В данном случае слово эпиляция выступает в роли именительного темы. По правилам в такой конструкции можно поставить либо точку, либо двоеточие: Эпиляция. Как навсегда избавиться от нежелательных волос и Эпиляция: как навсегда избавиться от нежелательных волос. Тире стоит неверно.

Современная рекомендация: несо́лоно хлеба́вши.

В «Искать на Грамоте» есть и слово «строчной» (в скобках указана разница).