Правильно с НЕ.
Правильно: московское время, Игорев поход.
Общеупотребительно: увидел, услышал. В разговорной речи возможно: увидал, услыхал.
Корректно: Не секрет, что он тогда ходил в магазин. Не секрет — это не вводное слово, а самостоятельное предложение.
Поскольку прямая речь заканчивается восклицательным знаком, после нее ставится тире вместо запятой, требующейся перед союзом но (см. пункт в) параграфа 136 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина): Он хотел крикнуть: «Хватит!» — но что-то остановило его.
Все перечисленные фамилии склоняются.
"В попытках объясниться" - обстоятельственный оборот.
В подобных случаях двоеточие может ставиться в деловых и научных текстах. В стилистически нейтральных текстах двоеточие не нужно.
