Верно склонение без выпадения гласной: нет Шагола.
Названия поселков не заключаются в кавычки.
С родовым словом поселок название не склоняется: поселка Морки. Без родового слова верно: Морков.
Корректно: Сколько их, кризисов и даже катастроф, осталось позади.
Правильно: в Сергиевом Посаде.
Вот цитата из "Письмовника". Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают: на реке Енисей, у реки Хопёр, в деревне Парфёнок (однако это замечание не относится к сочетаниям со словом город, поэтому правильно: в городе Туле, из города Москвы).
Поэтому верно: в поселке Знаменка.
Да, такой вариант корректен.
Можно, но лучше: вручать подарки и исполнять танцы.
Корректно: иванъельцы, но иван-ельский.
