Правильно: на берегу реки Клязьмы. Обратите внимание: сочетание раскинувшийся символ неудачно.
Правильно: Крещение Руси.
Написание в кавычках с прописной уместно в том случае, если название используется как торговое (на ценнике, в меню и т. д.): салат «Селедка под шубой». При передаче на письме бытовой речи правильно строчными без кавычек: какой Новый год без селедки под шубой!
В сочетании с географическим термином река названия рек женского рода обычно склоняются: в бассейне реки Плисы.
Корректно: под эгидой ФИФА и УЕФА. Ср.: под покровительством ФИФА и УЕФА, действовать под эгидой наблюдателей.
Формы оба, обе управляют существительным в форме родительного падежа единственного числа: обе реки́, обе эти реки́.
Верно: Протяни руку, и книга заговорит.