Нужны, если это название автобуса. Ср.: автобус, следующий по  маршруту Анапа — Москва. 

Найти ответ на этот вопрос Вам поможет словарь И. Л. Городецкой, Е. А. Левашова «Русские названия жителей» (М., 2003).

Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).

Фамилия Жабуня склоняется (если только нет достоверных данных о том, что эта фамилия французская по происхождению). Нормы русской грамматики предписывают склонять все мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я, которым предшествует согласный. Единственное исключение – фамилии французского происхождения с ударением на последнем слоге типа Дюма, Золя.

Отметим: фамилия склоняется потому, что таковы грамматические нормы русского языка, а вовсе не потому, что «принят новый закон о русском языке». Закон о русском языке (его официальное название – Федеральный закон Российской Федерации от 1 июня 2005 г. N 53-ФЗ «О государственном языке Российской Федерации») не устанавливает грамматические нормы (это не его задача; для этого существуют словари и грамматики), а определяет статус русского языка как государственного языка Российской Федерации, сферы его использования, меры по защите и поддержке русского языка как государственного языка РФ.

Правильно склонять оба слова. Подробнее см. в "Письмовнике".

Да, Анапа – существительное женского рода.

Лучше всего написать так: уважаемые жители Новороссийска, Анапы, Геленджика.