Вопрос

Как правильно: писать маркёром или писать маркером?

Слова маркер и маркёр в русском языке различаются значениями.

Маркер  – фломастер с толстым стержнем. Слово это заимствовано из английского (marker < mark – отмечать, выделять) и освоено русским языком не так давно. Правильно: писать маркером.

В современном русском языке есть маркёр 1 и маркёр 2, эти слова – омонимы, оба слова заимствованы из французского (marqueur < marquer – отмечать).

• Слово маркёр 1 имеет значение «лицо, прислуживающее при бильярде и ведущее счет во время игры». В этом значении слово зафиксировано уже в «Новом словотолкователе, расположенном по алфавиту» Н. Яновского (ч. II, СПб., 1804). У Л. Толстого есть рассказ «Записки маркёра». Прилагательное от маркёра 1 – маркёрский: маркёрская развязанность, занять свое старое маркёрское место.
• У Даля, а потом и в других словарях отмечено и маркёр 2  – сельскохозяйственное орудие для проведения посадочных или посевных борозд; разметчик, следоуказатель. Есть и второе значение: управляющее устройство на автоматической телефонной станции. Прилагательное от маркёра 2  – маркёрный: маркёрная линия, маркёрная доска.

Правильно

писать, делать пометки маркером.

Различай

маркер и маркёр.