убеждать(ся), -аю(сь), -ает(ся)
УБЕЖДАТЬСЯ, убеждаюсь, убеждается \\ в формах с сочетанием м[с’]: убеждаемся... – убеждае[м]ся; в форме убеждался – убежда[л]ся; в формах с сочетанием ющ: убеждающийся... – убежда[йу]щийся и убежда[и]щийся; о произношении форм с конечными -ся, -сь см. § 145.
Ответы справочной службы
Я буду убеждаться.
Убеждаться – я убеждаюсь. Убедиться – форма 1-го лица ед. ч. не употребляется.