одобрение, -я
ОДОБРЕНИ|Е, -я, род. мн. одобрений, ср., нд., II г.
Признание кого-чего-л. хорошим, правильным, а ткж. положительный отзыв, похвала в отношении того, кто или что признаётся хорошим, правильным. Ант. <неодобрение, осуждение, порицание>.
Полное (всеобщее, единодушное, искреннее, молчаливое, шумное, горячее, радостное, бурное, восторженное, моральное, родительское, официальное …) одобрение. Одобрение матери (директора, начальства, руководства, народа, общественности, толпы …) о том, кто
Ответы справочной службы
Предложение содержит грамматическую ошибку. Возможен такой вариант: Они одобрили и поддержали данную инициативу.
Рекомендация странная. В словаре под ред. Д. Н. Ушакова заслужить, заслуживать ЧТО - только в следующих значениях: "оплатить за услугу, возместить услугу услугой" (прост.) и "загладить прежнюю провинность, грехи последующими поступками" (обл.). В других словарях аналогично.
Вы правы. Ответ исправлен. Спасибо за замечание!