Государственный исторический музей
Ответы справочной службы
Правильно: Государственный исторический музей, при неофициальном употреблении: Исторический музей.
В приведенном примере правильно со строчной. С прописной корректно как первое слово в официальных названиях: Государственный исторический музей, Государственный реестр РФ. В остальных случаях, как правило, написание со строчной.