Вы расставили знаки препинания правильно.

Во втором предложении обе запятые не нужны, однородные обстоятельства для ускорения процесса оплаты и недопущения срыва запланированных сроков проведения экспертизы не нуждаются в обособлении.

Запятая нужна. Сочетание аты-баты, задающее ритм считалке, близко к междометию. Оно, как и междометие, не является членом предложения, не связано с другими словами в предложении, имеет самостоятельное интонационное оформление. Отсутствие запятой, полагаем, ошибкой является, однако не такой ошибкой, за которую следует снижать оценку в школе. 

Запятые не нужны, поскольку как употребляется в значении "в качестве" (я в качестве сотрудника, руководителя).

Верно: попить чайку.

Запятые не требуются. После слова просьба можно поставить двоеточие (но необязательно).

Форма мн. ч. слова лук ограничена в употреблении. Действительно, это луки, луков, лукам и т. д. Однако обычно эта форма заменяется словосочетаниями, в которых первое слово стоит во мн. ч., а слово лук используется в ед. ч. (сорта лука, виды лука и т. д.).

Здравствуйте! Вот окно поиска ответа, а вот "Справочник по пунктуации".

Верно: Срок оказания услуг — от 15 до 31 рабочего дня.

К сожалению, тире перед это обязательно.