Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
См. в «Письмовнике».
См. «Письмовник».
Притяжательные прилагательные надо писать с прописной: Ирина тетрадка, Мишина машина.
См. в «Письмовнике».
Верен второй вариант, поскольку речь идет о неодушевленных предметах.
Оба варианта корректны.