Предложение некорректно.

Правильно: По хутору поползли слухи, что хлеб собирается для отправки за границу и что посева в этом году не будет. остальные предложения корректны.

Корректно множественное число: слышатся.

Оборот корректен.

Правильно: красавцев цыган.

Это отглагольное существительное, образованное по регулярной словообразовательной модели; его лексическое значение совпадает со значением соответствующего глагола. Следовательно, необходимости в словарной фиксации нет.

Под «устойчивыми сочетаниями слов» в отечественной лингвистической традиции принято понимать фразеологические (фразеологизованные) единицы языка, или фразеологизмы. Фразеологизмы противопоставляются свободным сочетаниям слов в двух аспектах: по признаку неделимости, целостности значения (смысловая целостность) и по признаку воспроизводимости в речи (синтаксическая целостность). При этом степень «свободы» слов в словосочетании может быть различной, с чем и связана практическая трудность разграничения «устойчивых« и «неустойчивых» словосочетаний. К числу фразеологизмов, таким образом, могут быть причислены как выражения, обозначающие один денотат и при этом регулярно воспроизводимые в речи (например, стиральная машина, дом отдыха), так и семантически неразложимые сочетания (например, бить баклуши - бездельничать, точить лясы - болтать). Последние принято также называть идиомами. Формальным критерием принадлежности словосочетания к числу фразеологизмов может быть его фиксация либо во фразеологическом словаре, либо в специальной фразеологической (или, иначе, заромбовой - от слова ромб, типографский знак) части словарной статьи толкового словаря. У глагола сбить значение 'нарушить правильность чего-либо, разладить' последовательно реализуется в ограниченном словесном окружении: сбить прицел, сбить настройку радиоприемника, сбить планы, сбить расчеты и т. п. Следовательно, сочетание сбить дыхание было бы правильнее отнести не к числу фразеологизованных сочетаний слов, а - несколько мягче - к числу «несвободных сочетаний слов». Окончательный ответ: сочетание сбить дыхание можно считать устойчивым лишь с большой натяжкой, принимая в качестве исходных некоторые необщезначимые положения лексической теории.

Запятая не нужна.

Верно: за спинами людей, сидящих за столом.

В словообразовательном отношении вдохновение - производное от глагола вдохновить.

В этимологическом отношении - это слово связано с вдохом, дыханием.