Оба сочетания правильны.
Можно, но делать это не обязательно.
Да, написано правильно. Слово кремль пишется строчными как второе слово наименований городских историко-архитектурных комплексов (но: Московский Кремль – как музей-заповедник и правительственная резиденция).
Да, запятая поставлена правильно.