Правильно с прописной (большой) буквы.
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Корректно: был переведен в ключевой район.
Верно: Западно-Сахалинский район.
Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Вы имеете в виду микрорайон? Корректно: 3-й микрорайон Новокосина (и Новокосино).