Да, мужская фамилия Гайголос склоняется. Женская фамилия несклоняема.
От существительного лицей образуется только прилагательное лицейский. Слово лицейный нам неизвестно.
Воспользуйтесь, пожалуйста, окном «Искать на Грамоте».
Эта фамилия склоняется (и мужская, и женская). Из неодносложных фамилий, кончающихся на ударный -а, не склоняются только фамилии французского происхождения (Дюма, Гавальда).
Возможны две формы: Компаниецу и Компанийцу. Если речь идет о ныне живущем человеке, предпочтительный вариант лучше уточнить у него.
Это союзы-синонимы. Они употребляются в сложноподчиненных предложениях и присоединяют придаточную часть, в которой содержится причина, обоснование или предпосылка того, о чем говорится в главной части.
См. в учебнике Е. Литневской.
Запятая нужна. Она ставится между частями сложного предложения.
