Корректно: учусь по специальности, учусь специальности.
Верно: учиться этой специальности, обучаться по специальности, приобретать специальность.
Если название специальности не согласовано грамматически с предшествующими словами, то используются кавычки: получил специальность "программист", получил специальность программиста.
Да, кавычки обычно ставятся.
Корректно: специальность "учитель".
Оба варианта верны.
Названия специальностей корректно писать в кавычках со строчной: специальность «инженер-электрик».