Если в слове праздник выделять связанный корень праздн- (ср. праздновать, празднество), тогда в слове праздничный выделяется тот же корень и два суффикса — -ич- и -н-.  Если же трактовать слово праздник как вершину словообразовательного гнезда (так, например, во всех словообразовательных словарях А. Н. Тихонова, где слова праздновать, празднество считаются образованными от праздник суффиксальным способом с одновременным усечением производящей основы), то в слове праздничный выделяется корень празднич- и суффикс -н-. На наш взгляд, первый вариант предпочтителен.

Корректно: Поздравляю с прошедшим праздником Успения Пресвятой Богородицы и праздником Перенесения из Едессы в Константинополь Нерукотворенного Образа Господа нашего Иисуса Христа (если прошедшим является только первый праздник) или Поздравляю с прошедшими праздниками Успения Пресвятой Богородицы и Перенесения из Едессы в Константинополь Нерукотворенного Образа Господа нашего Иисуса Христа (если прошедшими являются оба праздника).

Правила выбора формы определения при существительных — однородных членах подробно изложены в § 195 пособия Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой и Н. П. Кабановой «Справочник по правописанию, произношению, литературному редактированию».

Согласно § 183 «Правил русской орфографии и пунктуации» с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена в названиях религиозных праздников. Если речь идет о поздравлении, значит, Воскресный день воспринимается как праздник, в этом случае уместно использование прописной буквы.

Корень чес/чит/чёт/чт «уважение», представленный, например, в словах честь, честной, честить, почитать, почёт, почтение, чту, тоже относится к корням с чередованием: для передачи безударного гласного в словах с суффиксом -а- пишется буква и. Наличие омонимичного глагола почитать «читать некоторое время» не отменяет написания почитать в значении «чтить» через и.

Верно с дефисом и без пробелов: Выпуск-2025.

Запятая нужна, так как это сложное предложение. 

Правильно: осведомлённый.
Предпочтительно: собрали́сь, допустимо: собра́лись. 
Правильно: Новый год (праздник, посвященный наступлению очередного года) и новый год (весь календарный год).

Оба варианта корректны, но их употребление зависит от контекста: 1. Торт для праздника — это выражение подчеркивает, что торт предназначен специально для какого-то праздника. Оно указывает на целевое использование торта. 2. Торт на праздник — это выражение подчеркивает, что торт будет подан или использован на определенном празднике. Оно указывает на время или место, когда торт будет представлен или съеден. Таким образом, выбор между предлогами "для" и "на" зависит от вашего намерения акцентировать внимание на назначении или времени подачи торта.

Наличие непроизносимого согласного проверяется подбором другой формы того же слова или другого родственного слова, где этот согласный произносится, например: праздный (празден), честный (честен, честь), совместный (вместе), поздний (опоздать) и т. п.

Корректно: Семейный праздник, который прошёл вчера. Конструкция  праздник, что прошел вчера носит разговорный характер.