Первое слово стилистически нейтральное, второе — разговорное.
Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.
Употребительно: подняться на лифте, воспользоваться лифтом. Но: курить в лифте.
Подыматься – разговорное слово. В живой устной речи его использование возможно, но на письме (тем более в официальных документах) это слово употреблять не следует.
По основному правилу тире не требуется.
Правильно: подвизаться.